机床运动功能设计是机床方案设计中首先要进行的工作，传统的机床运动功能的设计方法主要是以现有的机床设计实例为基础进行经验和类比设计。这种方法简单，但创新性差，是造成目前机床产品单一化的主要原因。随着经济的发展，市场对产品的需求是多品种、小批量，为了快速、经济地满足市场需要，从理论上研究并建立不依赖先验知识的机床运动功能的设计方法是非常必要的，这对全新性的机床设计具有重要意义。今介绍一种基于刀具和工件加工表面信息并通过解析进行机床运动功能设计的方法，即机床运动功能的创成式设计方法。该方法在二维曲面加工中的应用已在文献［1］中介绍。本文将介绍这种方法的进一步研究成果，并以一个三坐标机床为例，详细介绍其运动功能方案设计的全过程。

2　刀具工件信息描述方法

　　创成式机床运动功能设计方法的基础是刀具切削面的概念［1］，刀具切削面是指刀具上能够与被加工表面相对接触的表面，它是一个广义的面，可以是点、线、面（随切削面类型不同而异）。对于如图1所示的片铣刀加工外圆柱表面的情况，刀具切削面就是绕刀具轴线的圆线；若为圆柱铣刀，其切削面就是一个圆柱面；若为端铣刀，其切削面为平面圆线，等等。这时的刀具切削面是由刀具自身的回转运动创成，创成这种刀具切削面仅需一个回转运动即可。

图1　片铣刀加工外圆柱面示意图

2.1　刀具切削面的数学描述方法
　　采用齐次函数矩阵的形式［2］来描述刀具切削面，如图1中OP为切削面坐标系，OC为切削面上点的坐标系，XC坐标指向刀具的实体材料方向，r为刀具的回转半径。这样可以在OP坐标系中描述刀具切削面如下：

       （1）

其中，CγP＝cos（γP），SγP＝sin（γP），｛xC｝C为OC坐标系中点的坐标列阵，｛xC｝P为OP坐标系中点的坐标列阵，［TPC］为刀具切削面的描述矩阵。
2.2　加工表面的数学描述方法
　　仍然采用齐次函数矩阵的形式进行描述。如图2中，OW为工件坐标系，OS为加工表面上一点处的坐标系，取XS坐标指向加工表面的外法向，YS坐标为加工表面的母线的切线方向。这样可以求得OW坐标系中加工表面的描述式：

       （2）

式中［WTS］——加工表面的描述矩阵

图2　工件加工表面描述坐标系

2.3　刀具位姿条件的确定
　　有了刀具切削面的概念，那么机床上加工表面的创成过程就可以描述为刀具切削面相对于被加工表面移动或旋转而创成被加工表面。在这个过程中，刀具相对被加工表面要保证接触，并不发生干涉，即满足一定的接触条件和干涉条件，这样刀具（OP）和工件（OW）之间就有一定的位置和姿态要求，这种相对关系可以用刀具的位姿矩阵［WTP］来描述。
　　切削面与被加工表面的接触条件是OC坐标系与OS坐标系重合，由此可以推导出刀具相对工件的位置姿态矩阵：
　　［WTP］＝［WTS］.［TPC］－1     （3）

　　从上述公式可以看出：［WTP］包含了刀具和工件的信息。［WTP］是机床运动创成过程中应满足的条件。D对上述所得的刀具位姿矩阵还要进行必要的干涉检查，主要检查刀刃上其他各点是否与加工表面发生干涉现象，若不发生干涉则说明所求的刀具位姿矩阵可行。

3　机床运动功能方案的设计方法

　　有了刀具的位姿矩阵，那么现在需要解决的问题是如何通过［WTP］来确定出机床加工中刀具和工件之间所必需的运动单元的数目、排序等。本文主要研究串联式机床运动功能设计问题，我们以OP和OW之间的运动级联矩阵［TWP］来实现［WTP］（如图3示），即
　　［TWP］＝［WTP］     （4）

图3　刀具位姿矩阵与运动级联矩阵的关系

　　通过求解上式就可以得到机床的运动功能，［TWP］中的每一个运动单元排列即代表一个运动方案，这是一个多解的逆运动学问题，直接求解是很困难的。本文根据串联式运动的特点及加工表面的创成原理，给出一种分层式的解析方法。若设被加工表面为S（u,v），当v＝const时为母线，当u＝const时为导线。其解析步骤如下：
　　（1）确定被加工表面的母线和导线；
　　（2）创成加工母线时的运动功能解析：
　　确定创成母线时的刀具位姿矩阵［WTP］u，根据［WTP］u的特征设置运动级联矩阵［TWP］u，且使
　　［TWP］u＝［WTP］u     （5）

　　求解式（5），若求解出的运动单元是u的函数，则表明该运动单元是必须的，否则所设置的运动单元是多余的。由此可以确定出创成母线时所需的运动单元。
　　（3）创成加工导线时的运动功能解析：
　　方法同上；
　　（4）创成母线和导线的运动单元的综合：
　　将创成母线和创成导线的运动单元进行综合，形成创成加工表面时的基本运动单元的组合式。
　　（5）对创成被加工表面的基本运动单元进行扩展，创成出所有可能的运动功能方案。
　　本文所采用的运动单元的符号及其与坐标的关系如图4所示。

图4　运动单元与基准坐标系

4　举例分析

　　如图1所示，应用片铣刀加工圆柱表面，分别建立OW、OP、OS、OC坐标系，其中加工母线为用θZW描述的圆；导线为用Z描述的直线；γP为刀具的切削运动角；R为被加工圆柱的半径。按照前述介绍的方法进行机床运动功能的解析。
　　（1）创成母线的刀具位姿矩阵：

      （6）

式中　CθZW－γP＝cos（θZW－γP）
　　　SθZW－γP＝sin（θZW－γP）
考虑到式（6）的姿态项和位置项的特征，设置如下的运动级联矩阵：

      （7）

其中，b1，a2，a3，b3，aP，bP为各运动坐标系之间的平移坐标变换，X，Y方向的平移量则包含在X，Y之中。
　　由［TWP］u＝［WTP］u得，

      （8）

　　上式中有X、Y、γ、γP四个运动变量，但只有三个方程式，因此是一个多解方程组，有下述三个解：
　　解1：令γ＝0，则由方程组可*定出γP、X、Y是θZW的函数。
　　解2：令X＝0，则由方程组可*定出γ、γp、Y是θZW的函数。
　　解3：令Y＝0，则由方程组可*定出γ、γP、X是θZW的函数。
　　这三组解可以用运动组合式的形式写出，即：

W/XY/γP／T，W／Xγ／γP／T，W／Yγ／γP／T

上述的运动组合式表示从刀具到工件之间的运动单元组合情况，其中该式的左边“W”表示工件，右边“T”表示刀具，中间的运动单元表示OW和OP之间的相对运动组合。
　　上式是包含有直线运动的情况，对于全为回转运动单元的运动情况，考虑到式（6）的特征，可设置双γ的运动级联矩阵，同理求得运动组合式W/γγ／γP／T。
　　（2）创成导线时的运动解析：创成导线时的刀具位姿矩阵为

      （9）

　　可以看出，上式中的姿态项无变量，因此创成导线时仅需要一个运动单元：Z。
　　（3）将创成母线和导线的运动单元进行综合，得到创成圆柱面所需的运动组合式：
　　W／XYZ／γp／T，W／XZγ／γp／T，W／YZγ／γp／T，W／γγZ／γp／T
其中W／XYZ／γp／T，W／XZγ／γp／T是相同的，取其中之一即可。
　　（4）机床运动功能方案生成：上式所得的组合式仅代表OP和OW之间的相对运动的个数和性质，对该式中的运动单元进行排列即可得到各种方案。在满足式（4）的条件下共可得到以下15种方案（用创成运动式来表示）：
　　W／XYZ／γp／T，W／XZY／γp／T，W／YXZ／γp／T，W／YZX／γp／T，W／ZXY／γp／T，W／ZYX／γp／T，
　　W／XZγ／γp／T，W／XγZ／γp／T，W／ZXγ／γp／T，W／ZγX／γp／T，W／γXZ／γp／T，W／γZX／γp／T，
　　W／Zγγ／γp／T，W／γZγ／γp／T，W／γγZ／γp／T
　　这15种运动方案是片铣刀创成圆柱面时的所有可能的运动方案，代表着刀具和工件之间所需的运动单元组合排列方案。
　　以上述所得到的运动功能方案为基础，进行机床的结构方案创成时，还需对其进行运动功能分配，即以底座为基准，将运动单元分配给刀具一侧和工件一侧，从而又可以得到多种运动结构式，如对于创成运动式W／XYZ／γp／T，其运动功能的分配方法就有4种，底座用“.”表示，则有
　　W／.XYZ／γp／T，W／X .YZ／γp／T，W／XY .Z／γp／T，W／XYZ .／γp／T
　　因此，从上述15种创成运动式就可以得到60种运动结构式，然后，以这60种运动结构式为基础进行机床总体结构布局方案的创成，就可以得到各种可能的机床结构布局方案，供具体设计时选用。
　　以上仅以片铣刀加工圆柱表面为例介绍了机床运动功能方案的设计规划方法，这种方法具有通用性，同样适用于其他类型的刀具和加工表面的情况。对于零件群加工情况，可通过运动综合来规划机床的运动功能。

5　结论

　　本文提出了以刀具和工件为输入信息的机床运动功能方案的创成方法。通过定义刀具切削面，提出了以刀具位姿矩阵来描述被加工表面和刀具之间的相对运动的关系，给出了用运动级联矩阵实现刀具位姿的方法和解析创成机床运动功能方案的步骤，算例分析表明本文所提出的方法具有通用性，可以有效地创成出所有可能的机床运动功能方案，为建立不依赖先验知识的新型机床运动功能方案的设计方法，提供理论依据。