机械产品的设计, 一般需要经过提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘画和编写设计说明书等环节。传统设计方法通常是在调查分析的基础上, 参照同类产品, 通过估算、经验类比或试验等方法来确定产品的初步设计方案。然后对产品的设计参数进行强度、刚度和稳定性等性能分析计算, 检查各项性能是否满足设计指标要求。如果不能满足要求, 则根据经验或直观判断对设计参数进行修改。
        整个传统设计过程是人工试凑和定性分析比较的过程, 因此, 这种方法只能是被动地重复分析产品的性能, 而不是主动地设计产品的参数。而优化设计是用数学规划理论和计算机自动选优技术来求解*化的问题。对工程问题进行优化设计, 首先需要将工程设计问题转化为数学模型, 即用优化设计的数学表达式描述工程设计问题。然后, 按照数学模型的特点选择合适的优化方法和计算程序, 获得*设计方案。

        1 优化设计及其数学模型
        优化作为一门学科与技术, 是一切科学与技术所追求的永恒的主题, 旨在从处理各种事物的一切可能的方案中, 寻求*的方案。优化的原理与方法, 在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用,
        这便是优化设计。机械优化设计则是优化设计在一切工程设计应用中的一个方面, 其本质是依据*化的原理与方法, 且通常借助计算技术与计算机这一强有力的手段, 对某项机械设计, 在规定的各种设计限制条件下, 优选设计参数, 使某项或某几项设计指标获得*值。它所追求的是*结果、*设计等, 所遵循的是一套日益发展与完善的*化理论与方法。所以, 整个设计过程是一个科学寻优的过程。
        用一组设计变量描述优化设计对象的设计内容、即描述优化意图和有关限制条件的数学表达式,称为优化设计的数学模型。它包含三个要素, 即设计变量、目标函数和约束条件。
        设计变量是用一组设计参数的*组合来表示的。设计变量的个数就是优化问题的维数。有n 个设计变量x1, x2, !, xn 的优化问题, 其维数为n。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称为设计空间。设计空间中, 点x 就代表一个设计方案（或称设计点）, 以向量表示时, 可记为
        x = [ x1, x2,..., xn] T 或x∈ Rn          （ 1）
        式中Rn——代表n 维实空间。
        目标函数f （ x ）是反映优化意向的关于设计变量的数学表达式, 可用来直接评价优化方案的好坏,所以又称为评价函数。为了规范化, 优化设计数学模型中通常规定求目标函数的极小值, 即
        minf（ x ）=f（x1, x2,..., xn ）                （ 2）
        约束条件也称设计约束, 它是设计变量间或设计变量本身应该遵循的限制条件的数学表达式。约束条件按其表达式可分为不等式约束和等式约束两种, 即
        gj （ x ） ≤ 0（ j= 1, 2, ..., m ）   hv= 0（ v= 1, 2, ..., p ）                                                        （ 3）

        2  高转速、高精度数控车床主轴的优化设计
        主轴部件是机床的执行件, 它的功用是支承并带动工件或刀具, 完成表面成形运动, 同时还起到传递运动和扭矩、承受切削力和驱动力等载荷的作用。主轴部件的工作性能直接影响到机床的加工质量和生产率, 是机床中的一个关键部件。如图1所示为经过简化处理的高转速、高精度数控车床双支承主轴的力学模型。主轴支承采用角接触球轴承, 主轴的zui高转速为8000r/min, 机床主轴的悬臂端受到的切削力F=20000N, 主轴内径d=40mm, 悬臂端许用挠度y0=0.05mm。要求主轴两支承跨度350mm≤ l≤ 600mm。外径70mm≤D≤ 150mm。悬臂端长度80mm≤a≤160 mm。主轴的材料采用40 C r。从机床主轴制造成本和加工精度的要求出发, 需要考虑主轴的自重和外伸段挠度这两个重要因素。选取主轴的重量zui轻为设计目标, 将主轴的刚度作为约束条件。

图1 主轴力学模型图

        2. 1 设计变量和目标函数
        主轴重量设计变量包括主轴的外径D （因主轴的外径在其长度内变化不大, D 取其外径平均值）、孔径d、两支承跨度l和外伸段长度a, 如图1所示。
        设计变量为
               

        机床主轴重量zui轻优化设计的目标函数为
               

  式中p——为材料的密度。
        2. 2 约束条件
        机床的加工质量在很大程度上取决于主轴的刚度, 主轴的刚度是一个很重要的性能指标。由材料力学可知, 主轴悬臂端挠度为
               

        式中 J ——空心主轴的惯性矩,
                

        E ——主轴的弹性模量,
                

         F ——作用在主轴外伸端的力。
        当主轴的旋转角速度ω达到其横向振动的固有频率 ωn 时, 轴将处于共振状态。考虑这种动力稳定性, 主轴为单自由度的振动问题, 主轴刚度的约束条件为
               

        三个设计变量的约束条件为
               

        将已知数据代入式（ 5）和式（ 7）, 整理得到
               

        2. 3 优化方法与结果
        采用内点惩罚函数法求解, 取初始惩罚因子
        r（1）=2, 惩罚因子递减系数e=0.1, 收敛精度ε=10- 6。
        取可行域内的初始点X（0）=[500,110,130] T,经过28次迭代计算, 得到*解为
        X* = [ x*1 , x*2 , x*3 ] T = [ 353. 285, 81. 533, 83. 652] T
        f （X* ） = 1731314. 633mm3
        对于上述主轴, 如按传统的设计方法, 经设计计算, 所得到的轴的体积为2079308.875 mm3 （设计过程略）。通过实例表明, 机床主轴采用优化设计较传统设计, 可使其重量减轻20. 1%。

        3. 结束语
        通过对机床主轴优化设计的研究, 得出如下结论: 利用限制搜索空间、惩罚函数的方法来处理约束条件, 可解决因约束条件多计算量大的问题; 该方法的研究解决了机床主轴优化设计的问题, 在实际应用中取得较传统设计更为满意的效果。